等边三角形的判定(等腰三角形的判定和性质)
茆绿海 • 2022-07-01 04:20:01 • 7187次 • 热点
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角。在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形。
其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角。等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
1.等腰三角形的性质
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).
等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴,注意不能说顶角的平分线、底边上的高线是对称轴。
例题1:如图,AC=BC,∠ACB=90°,∠A的平分线AD交BC于点D,过点B作BE⊥AD于点E.求证:AD=2BE.
分析:由角边角证明△AME≌△BAE得BE=ME,BM=2BE,再证明△ACD≌△BCM得AD=BM,等量代换证明AD=2BE。有角平分线+高线,通过三线合一可得到中线,但是在解答题中最好不要直接使用,利用全等三角形进行证明。
本题综合考查了等腰直角三角形的性质,直角三角形中两锐角互余,等角(或同角)的余角相等。
全等三角形的判定与性质,等量代换、三线合一等相关知识点,重点掌握全等三角形的判定与性质,难点作辅线构建三角形证明全等。
2.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理。
例题2:如图,△ABC中,∠C=2∠A,BD平分∠ABC交AC于D,求证:AB=CD+BC.
方法一:先在AB上取BE=BC,根据SAS证出△CBD≌△EBD,得出CD=ED,∠C=∠BED,再证明∠A=∠ADE,得出AE=DE=CD,最后根据AB=BE+AE,即可得出答案;
在前面的文章中,我们讲过,遇到a+b=c这种类型的题目,首先想一下能不能利用截长补短法解决问题,如果不能的话,再去想其它的方法。
方法二:先延长BC至F,使CF=CD,得出∠F=∠CDF,再利用AAS证出△ABD≌△FBD,得出AB=BF,最后根据BF=BC+CF=BC+CD,即可得出答案.
此题考查了等腰三角形的判定与性质,用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质,关键是作出辅助线,构造全等三角形.
3.操作题
(1)操作实践:△ABC中,∠A=90°,∠B=22.5°,请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成两个等腰三角形底角的度数;(要求用两种不同的分割方法)
(2)分类探究:△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值;
(3)猜想发现:若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,需满足什么条件?(请你至少写出两个条件,无需证明)
第1问:按要求画图(作AB的中垂线或作BC的中垂线)即可;
第2问:在(1)的基础上,由“特殊”到“一般”,需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形,一共有4种情况,分别画图即可;
图1的最大角=39°+78°=117°,
图2的最大角=24°+180°-2×48°=108°,
图3的最大角=24°+66°=90°,
图4的最大角=84°,
故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°;
(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,应满足下列条件之一:
①该三角形是直角三角形;
②该三角形有一个角是最小角的2倍;③该三角形有一个角是最小角的3倍.
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